本篇文章给同学们谈谈高三数学调研卷答案，以及高考调研数学高三理科2021对应的知识点，希望对各位同学有所帮助，不要忘记分享给你的朋友哦！
本文目录一览：
- 1、南京市2009—2010学年度第一学期期末调研试卷 高三数学答案
- 2、南通市2008——2009年度第一学期高三期末调研测试卷数学答案
- 3、2022广西高三第三次教学质量检测各科试卷及参考答案（更新完毕）
- 4、江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷第14题
- 5、南通市2009届高三第一次调研测试 数学答案
- 6、求助，举手之劳，
南京市2009—2010学年度第一学期期末调研试卷 高三数学答案
- -！有题么
有题就给你弄出答案来~
这年头黑客不好当啊~~
做做研究还是可以D~
[img]南通市2008——2009年度第一学期高三期末调研测试卷数学答案
南通市2008～2009年度第一学期高三期末调研测试 学科网
数学 学科网
A．必做题部分 学科网
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 学科网
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 ，则集合 = ▲ ． 学科网
2． 已知函数 ，则 的最小正周期是 ▲ ． 学科网
3． 经过点（－2，3），且与直线 平行的直线方程为 ▲ ． 学科网
4． 若复数 满足 则 ▲ ． 学科网
5． 程序如下： 学科网
t←1 学科网
i←2 学科网
While i≤4 学科网
t←t×i 学科网
i←i＋1 学科网
End While 学科网
Print t 学科网
以上程序输出的结果是 ▲ ． 学科网
6． 若 的方差为3，则 的方差 学科网
为 ▲ ． 学科网
7． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 ，则四面体 的外接球的体积为 ▲ ． 学科网
8． 以椭圆 的左焦点 为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ． 学科网
9． 设a＞0，集合A={（x，y）| }，B={（x，y）| }．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是 ▲ ． 学科网
10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ． 学科网
11．数列 中， ，且 （ ， ），则这个数列的通项公式 学科网
▲ ． 学科网
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12．根据下面一组等式： 学科网
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………… 学科网
可得 ▲ ． 学科网
13．在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则 等于 ▲ ． 学科网
14．设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ． 学科网
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二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 学科网
15．（本小题14分） 学科网
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D． 学科网
（1）求证：AD⊥平面BC C1 B1； 学科网
（2）设E是B1C1上的一点，当 的值为多少时， 学科网
A1E‖平面ADC1？请给出证明． 学科网
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16．（本小题14分） 学科网
如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 ． 学科网
（1）求sin∠BAD的值； 学科网
（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 的值． 学科网
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17．（本小题15分） 学科网
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 学科网
日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差 （°C） 10 11 13 12 8
发芽数 （颗） 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． 学科网
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率； 学科网
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ； 学科网
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? 学科网
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18．（本小题15分） 学科网
抛物线 的焦点为F， 在抛物线上，且存在实数λ，使 0， ． 学科网
（1）求直线AB的方程； 学科网
（2）求△AOB的外接圆的方程． 学科网
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19．（本小题16分） 学科网
已知函数 在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π）， ，m∈R． 学科网
（1）求θ的值； 学科网
（2）若 在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围； 学科网
（3）设 ，若在[1，e]上至少存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围． 学科网
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20．（本小题16分） 学科网
已知等差数列 的首项为a，公差为b，等比数列 的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且 ．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求b的值；
（3）令 ，问数列 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
B．附加题部分
21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD
切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是
OB的中点，求BC的长．
B．选修4－2（矩阵与变换）
将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
C．选修4－4（坐标系与参数方程）
求直线 （t为参数）被圆 （α为参数）截得的弦长．
D．选修4－5（不等式选讲）
已知x，y均为正数，且x＞y，求证： ．
22．（必做题）已知等式 ，其中
ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．
南通市2009届高三第一次调研测试
数学参考答案与评分意见
A．必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 ，则集合 = ▲ ．
2． 已知函数 ，则 的最小正周期是 ▲ ．
3． 经过点（－2，3），且与直线 平行的直线方程为 ▲ ．
4． 若复数 满足 则 ▲ ．
5． 程序如下：
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i＋1
End While
Print t
以上程序输出的结果是 ▲ ．
6． 若 的方差为3，则 的方差
为 ▲ ．
7． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 ，则四面体 的外接球的体积为 ▲ ．
8． 以椭圆 的左焦点 为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
9． 设a＞0，集合A={（x，y）| }，B={（x，y）| }．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是 ▲ ．
10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．
11．数列 中， ，且 （ ， ），则这个数列的通项公式
▲ ．
12．根据下面一组等式：
…………
可得 ▲ ．
13．在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则 等于 ▲ ．
14．设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
答案：1．{6，7} 2． 3． 4． 5．24 6．27 7． 8．
9．0＜a≤ 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题14分）
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
（1）求证：AD⊥平面BC C1 B1；
（2）设E是B1C1上的一点，当 的值为多少时，
A1E‖平面ADC1？请给出证明．
解: （1）在正三棱柱中，C C1⊥平面ABC，AD 平面ABC，
∴ AD⊥C C1．………………………………………2分
又AD⊥C1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内，
∴ AD⊥面BC C1 B1． ……………………………………………………………5分
（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．………………………7分
当 ，即E为B1C1的中点时，A1E‖平面ADC1．………………………………8分
事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B‖DE，B1B= DE． …………………………………………………10分
又B1B‖AA1，且B1B=AA1，
∴DE‖AA1，且DE=AA1． ……………………………………………………………12分
所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1‖AD．
而E A1 面AD C1内，故A1E‖平面AD C1． ………………………………………14分
16．（本小题14分）
如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 ．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 的值．
解 （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
则AC=10， ．………………2分
又∵ ，AB=13，
∴ ． …………………………4分
∵ ，∴ ． …………………………………………………5分
∴ ．……………………………………………………8分
（2） ， ， ， 11分
则 ，∴ ．……………………………………14分
17．（本小题15分）
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差 （°C） 10 11 13 12 8
发芽数 （颗） 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分
所以 ．…………………………………………………………………4分
答：略． ……………………………………………………………………………………5分
（2）由数据，求得 ．………………………………………………………………7分
由公式，求得 ， ． …………………………………………………9分
所以y关于x的线性回归方程为 ． …………………………………………10分
（3）当x=10时， ，|22－23|＜2；…………………………………………12分
同样，当x=8时， ，|17－16|＜2．……………………………………14分
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………………………15分
18．（本小题15分）
抛物线 的焦点为F， 在抛物线上，且存在实数λ，使 0， ．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．
解：（1）抛物线 的准线方程为 ．
∵ ，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得| |= ． …1分
设直线AB： ，而
由 得 ． ……………………………………………3分
∴ | |= = ．∴ ．……………6分
从而 ，故直线AB的方程为 ，即 ．……………………8分
（2）由 求得A（4，4），B（ ，－1）．……………………………………10分
设△AOB的外接圆方程为 ，则
解得 ………………………………………………14分
故△AOB的外接圆的方程为 ．…………………………………15分
19．（本小题16分）
已知函数 在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π）， ，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若 在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设 ，若在[1，e]上至少存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围．
解：（1）由题意， ≥0在 上恒成立，即 ．………1分
∵θ∈（0，π），∴ ．故 在 上恒成立，…………………2分
只须 ，即 ，只有 ．结合θ∈（0，π），得 ．……4分
（2）由（1），得 ． ．…………5分
∵ 在其定义域内为单调函数，
∴ 或者 在[1，＋∞）恒成立．………………………6分
等价于 ，即 ，
而 ，（ ）max=1，∴ ． …………………………………………8分
等价于 ，即 在[1，＋∞）恒成立，
而 ∈（0，1]， ．
综上，m的取值范围是 ． ………………………………………………10分
（3）构造 ， ．
当 时， ， ， ，所以在[1，e]上不存在一个 ，使得 成立． ………………………………………………………12分
当 时， ．…………………………14分
因为 ，所以 ， ，所以 在 恒成立．
故 在 上单调递增， ，只要 ，
解得 ．
故 的取值范围是 ．………………………………………………………16分
20．（本小题16分）
已知等差数列 的首项为a，公差为b，等比数列 的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且 ．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求b的值；
（3）令 ，问数列 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知，得 ．由 ，得 ．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又 ，故b≥3． …………………………2分
再由 ，得 ．
由 ，故 ，即 ．
由b≥3，故 ，解得 ． ………………………………………………………4分
于是 ，根据 ，可得 ．…………………………………………………6分
（2）由 ，对于任意的 ，均存在 ，使得 ，则
．
又 ，由数的整除性，得b是5的约数．
故 ，b=5．
所以b=5时，存在正自然数 满足题意．…………………………………………9分
（3）设数列 中， 成等比数列，由 ， ，得
．
化简，得 ． （※） …………………………………………11分
当 时， 时，等式（※）成立，而 ，不成立． …………………………12分
当 时， 时，等式（※）成立．…………………………………………………13分
当 时， ，这与b≥3矛盾．
这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分
综上所述，当 时，不存在连续三项成等比数列；当 时，数列 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………16分
B．附加题部分
21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD
切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是
OB的中点，求BC的长．
解：连接OD，则OD⊥DC．
在Rt△OED中，OE= OB= OD，
∴∠ODE=30°． ………………………………3分
在Rt△ODC中，∠DCO=30°， ………………5分
由DC=2，则OB=OD=DCtan30°= ， ……………………9分
所以BC=OC－OB= ． …………………………………………………………………10分
B．选修4－2（矩阵与变换）
将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
解：由题意，得旋转变换矩阵 ， ……………………3分
设 上的任意点 在变换矩阵M作用下为 ， ，
∴ ………………………………………………………………………7分
得 ．
将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为 ．……10分
C．选修4－4（坐标系与参数方程）
求直线 （t为参数）被圆 （α为参数）截得的弦长．
解：把直线方程 化为普通方程为 ．…………………………………………3分
将圆 化为普通方程为 ．……………………………………………6分
圆心O到直线的距离 ， 弦长 ．
所以直线 被圆 截得的弦长为 ．………………………………10分
D．选修4－5（不等式选讲）
已知x，y均为正数，且x＞y，求证： ．
解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，
…………………………………………………3分
= ……………………………………………………………………6分
， …………………………………………………………………9分
所以 ． …………………………………………………………10分
22．（必做题）已知等式 ，其中
ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
解：（1）在 中，
令 ，得 ．……………………………………………………………………2分
令 ，得 ． ……………………………………4分
所以 ． ……………………………………………………5分
（2）等式 两边对x求导，得 ．…………7分
在 中，
令x=0，整理，得 ．………………10分
23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．
方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E，F，则 ．
设 即 ．
．
方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于M、N，过点A作BC的平行线AQ分别交MN、DC于P、Q，则 ．
设梯形AMNB的高为 ，
．
再解下面的问题：
已知四棱台ABCD－A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是 ，棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积= 底面积 高）．
解法一：将四棱台ABCD－A′B′C′D′补为四棱锥V－ABCD，设点V到面A′B′C′D′的距离为h′．由 即
所以
，
所以四棱台ABCD－A′B′C′D′的体积为 ． ………………………5分
解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S，它与上底面的距离为x，
，
．
，
，
．………………………………………………………………10分
2022广西高三第三次教学质量检测各科试卷及参考答案（更新完毕）
2022届高三广西第三次教学质量监测在3月15日进行,本文整理 广西高三第三次教学质量检测2022各科试卷及答案 供大家参考练习,包括2022广西高三第三次教学质量检测语文试卷答案、2022广西高三第三次教学质量检测文理数学试卷答案、2022广西高三第三次教学质量检测英语试卷答案、2022广西高三第三次教学质量检测文综试卷答案、2022广西高三第三次教学质量检测理综试卷答案。
2022广西高三第三次教学质量检测语文试卷答案：
2022广西高三第三次教学质量检测文科数学试卷答案：
2022广西高三第三次教学质量检测理科数学试卷答案：
2022广西高三第三次教学质量检测英语试卷答案：
2022广西高三第三次教学质量检测文综试卷答案：
2022广西高三第三次教学质量检测理综试卷答案：
2022广西高三第三次教学质量检测日语试卷答案：
江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷第14题
已知等腰三角形腰上的中线长为根号下3 ，则该三角形的面积的最大值是多少？
解析：设三角形腰长x，顶角为θ
∵腰上中线为√3
∴由余弦定理3=5/4x^2-x^2cosθ==x^2=12/(5-4cosθ)
∴三角形面积=1/2x^2sinθ=6sinθ/(5-4cosθ)
设f(θ)=6sinθ/(5-4cosθ)
令f’(θ)=(30cosθ-24)/(5-4cosθ)^2=0==cosθ=4/5
f(θ)在θ= arccos4/5时取极大值
∴当该三角形顶角为arccos4/5时，面积最大为2
南通市2009届高三第一次调研测试 数学答案
题目答案都有！
江苏省南通市2009届高三第一次调研测试
数学试卷
A．必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 ，则集合 = ▲ ．
2． 已知函数 ，则 的最小正周期是 ▲ ．
3． 经过点（－2，3），且与直线 平行的直线方程为 ▲ ．
4． 若复数 满足 则 ▲ ．
5． 程序如下：
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i＋1
End While
Print t
以上程序输出的结果是 ▲ ．
6． 若 的方差为3，则 的方差
为 ▲ ．
7． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 ，则四面体 的外接球的体积为 ▲ ．
8． 以椭圆 的左焦点 为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
9． 设a＞0，集合A={（x，y）| }，B={（x，y）| }．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是 ▲ ．
10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．
11．数列 中， ，且 （ ， ），则这个数列的通项公式
▲ ．
12．根据下面一组等式：
…………
可得 ▲ ．
13．在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则 等于 ▲ ．
14．设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题14分）
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
（1）求证：AD⊥平面BC C1 B1；
（2）设E是B1C1上的一点，当 的值为多少时，
A1E‖平面ADC1？请给出证明．
16．（本小题14分）
如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 ．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 的值．
17．（本小题15分）
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差 （°C）
10 11 13 12 8
发芽数 （颗）
23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
18．（本小题15分）
抛物线 的焦点为F， 在抛物线上，且存在实数λ，使 0， ．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．
19．（本小题16分）
已知函数 在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π）， ，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若 在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设 ，若在[1，e]上至少存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围．
20．（本小题16分）
已知等差数列 的首项为a，公差为b，等比数列 的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且 ．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求b的值；
（3）令 ，问数列 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
B．附加题部分
21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD
切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是
OB的中点，求BC的长．
B．选修4－2（矩阵与变换）
将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
C．选修4－4（坐标系与参数方程）
求直线 （t为参数）被圆 （α为参数）截得的弦长．
D．选修4－5（不等式选讲）
已知x，y均为正数，且x＞y，求证： ．
22．（必做题）已知等式 ，其中
ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．
南通市2009届高三期末调研测试
数学参考答案与评分意见
A．必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 ，则集合 = ▲ ．
2． 已知函数 ，则 的最小正周期是 ▲ ．
3． 经过点（－2，3），且与直线 平行的直线方程为 ▲ ．
4． 若复数 满足 则 ▲ ．
5． 程序如下：
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i＋1
End While
Print t
以上程序输出的结果是 ▲ ．
6． 若 的方差为3，则 的方差
为 ▲ ．
7． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 ，则四面体 的外接球的体积为 ▲ ．
8． 以椭圆 的左焦点 为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
9． 设a＞0，集合A={（x，y）| }，B={（x，y）| }．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是 ▲ ．
10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．
11．数列 中， ，且 （ ， ），则这个数列的通项公式
▲ ．
12．根据下面一组等式：
…………
可得 ▲ ．
13．在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则 等于 ▲ ．
14．设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
答案：1．{6，7} 2． 3． 4． 5．24 6．27 7． 8．
9．0＜a≤ 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题14分）
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
（1）求证：AD⊥平面BC C1 B1；
（2）设E是B1C1上的一点，当 的值为多少时，
A1E‖平面ADC1？请给出证明．
解: （1）在正三棱柱中，C C1⊥平面ABC，AD 平面ABC，
∴ AD⊥C C1．………………………………………2分
又AD⊥C1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内，
∴ AD⊥面BC C1 B1． ……………………………………………………………5分
（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．………………………7分
当 ，即E为B1C1的中点时，A1E‖平面ADC1．………………………………8分
事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B‖DE，B1B= DE． …………………………………………………10分
又B1B‖AA1，且B1B=AA1，
∴DE‖AA1，且DE=AA1． ……………………………………………………………12分
所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1‖AD．
而E A1 面AD C1内，故A1E‖平面AD C1． ………………………………………14分
16．（本小题14分）
如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 ．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 的值．
解 （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
则AC=10， ．………………2分
又∵ ，AB=13，
∴ ． …………………………4分
∵ ，∴ ． …………………………………………………5分
∴ ．……………………………………………………8分
（2） ， ， ， 11分
则 ，∴ ．……………………………………14分
17．（本小题15分）
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差 （°C）
10 11 13 12 8
发芽数 （颗）
23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分
所以 ．…………………………………………………………………4分
答：略． ……………………………………………………………………………………5分
（2）由数据，求得 ．………………………………………………………………7分
由公式，求得 ， ． …………………………………………………9分
所以y关于x的线性回归方程为 ． …………………………………………10分
（3）当x=10时， ，|22－23|＜2；…………………………………………12分
同样，当x=8时， ，|17－16|＜2．……………………………………14分
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………………………15分
18．（本小题15分）
抛物线 的焦点为F， 在抛物线上，且存在实数λ，使 0， ．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．
解：（1）抛物线 的准线方程为 ．
∵ ，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得| |= ． …1分
设直线AB： ，而
由 得 ． ……………………………………………3分
∴ | |= = ．∴ ．……………6分
从而 ，故直线AB的方程为 ，即 ．……………………8分
（2）由 求得A（4，4），B（ ，－1）．……………………………………10分
设△AOB的外接圆方程为 ，则
解得 ………………………………………………14分
故△AOB的外接圆的方程为 ．…………………………………15分
19．（本小题16分）
已知函数 在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π）， ，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若 在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设 ，若在[1，e]上至少存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围．
解：（1）由题意， ≥0在 上恒成立，即 ．………1分
∵θ∈（0，π），∴ ．故 在 上恒成立，…………………2分
只须 ，即 ，只有 ．结合θ∈（0，π），得 ．……4分
（2）由（1），得 ． ．…………5分
∵ 在其定义域内为单调函数，
∴ 或者 在[1，＋∞）恒成立．………………………6分
等价于 ，即 ，
而 ，（ ）max=1，∴ ． …………………………………………8分
等价于 ，即 在[1，＋∞）恒成立，
而 ∈（0，1]， ．
综上，m的取值范围是 ． ………………………………………………10分
（3）构造 ， ．
当 时， ， ， ，所以在[1，e]上不存在一个 ，使得 成立． ………………………………………………………12分
当 时， ．…………………………14分
因为 ，所以 ， ，所以 在 恒成立．
故 在 上单调递增， ，只要 ，
解得 ．
故 的取值范围是 ．………………………………………………………16分
20．（本小题16分）
已知等差数列 的首项为a，公差为b，等比数列 的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且 ．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求b的值；
（3）令 ，问数列 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知，得 ．由 ，得 ．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又 ，故b≥3． …………………………2分
再由 ，得 ．
由 ，故 ，即 ．
由b≥3，故 ，解得 ． ………………………………………………………4分
于是 ，根据 ，可得 ．…………………………………………………6分
（2）由 ，对于任意的 ，均存在 ，使得 ，则
．
又 ，由数的整除性，得b是5的约数．
故 ，b=5．
所以b=5时，存在正自然数 满足题意．…………………………………………9分
（3）设数列 中， 成等比数列，由 ， ，得
．
化简，得 ． （※） …………………………………………11分
当 时， 时，等式（※）成立，而 ，不成立． …………………………12分
当 时， 时，等式（※）成立．…………………………………………………13分
当 时， ，这与b≥3矛盾．
这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分
综上所述，当 时，不存在连续三项成等比数列；当 时，数列 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………16分
B．附加题部分
21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD
切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是
OB的中点，求BC的长．
解：连接OD，则OD⊥DC．
在Rt△OED中，OE= OB= OD，
∴∠ODE=30°． ………………………………3分
在Rt△ODC中，∠DCO=30°， ………………5分
由DC=2，则OB=OD=DCtan30°= ， ……………………9分
所以BC=OC－OB= ． …………………………………………………………………10分
B．选修4－2（矩阵与变换）
将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
解：由题意，得旋转变换矩阵 ， ……………………3分
设 上的任意点 在变换矩阵M作用下为 ， ，
∴ ………………………………………………………………………7分
得 ．
将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为 ．……10分
C．选修4－4（坐标系与参数方程）
求直线 （t为参数）被圆 （α为参数）截得的弦长．
解：把直线方程 化为普通方程为 ．…………………………………………3分
将圆 化为普通方程为 ．……………………………………………6分
圆心O到直线的距离 ， 弦长 ．
所以直线 被圆 截得的弦长为 ．………………………………10分
D．选修4－5（不等式选讲）
已知x，y均为正数，且x＞y，求证： ．
解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，
…………………………………………………3分
= ……………………………………………………………………6分
， …………………………………………………………………9分
所以 ． …………………………………………………………10分
22．（必做题）已知等式 ，其中
ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
解：（1）在 中，
令 ，得 ．……………………………………………………………………2分
令 ，得 ． ……………………………………4分
所以 ． ……………………………………………………5分
（2）等式 两边对x求导，得 ．…………7分
在 中，
令x=0，整理，得 ．………………10分
23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．
方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E，F，则 ．
设 即 ．
．
方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于M、N，过点A作BC的平行线AQ分别交MN、DC于P、Q，则 ．
设梯形AMNB的高为 ，
．
再解下面的问题：
已知四棱台ABCD－A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是 ，棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积= 底面积 高）．
解法一：将四棱台ABCD－A′B′C′D′补为四棱锥V－ABCD，设点V到面A′B′C′D′的距离为h′．由 即
所以
，
所以四棱台ABCD－A′B′C′D′的体积为 ． ………………………5分
解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S，它与上底面的距离为x，
，
．
，
，
．………………………………………………………………10分
南通市2008-2009届高三数学期末调研考试讲评建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．课本中的习题改编，考查集合的运算．一元二次不等式是C级要求．
2．课本中的习题改编．考查知识点是三角公式，数学思想方法是化归的思想．关注 ．
3．课本中的练习题改编的．考查知识点是直线方程和两直线的位置关系．
4．考查复数的运算．注意填空题的结果．
5．考查算法的循环语句．关注语句何时循环结束和输出的t值是多少?
6．课本中的练习题改编的．考查统计中的方差．关注
7．课本中的习题改编．考查正方体、四面体与球的组合体的关系，关注正方体的体对角线和正方体外接球的直径相等．
8．考查椭圆和圆的方程及其性质．关注椭圆的离心率的范围 ．
解： ，所以离心率 的取值范围是 ．
9．考查线性规划、充分必要条件和圆的有关知识．
10．考查概率中的几何概型，数形结合的思想方法．
11．考查递推数列和等差数列的通项公式，数学能力是识别、归纳、构造．
解： 方法一 由 ，
构造数列 ， ， ，即数列 是等差数列，
所以 ，故 ．
方法二 归纳猜想，求得
猜想 ．最好通过求出 验证猜想结果正确与否．
该题是由数列 中， ，且 （ ， ），则此数列的通项公式 改编的．
12．本题是课本中的习题．考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识．
方法一： 猜想 ．
方法二：先求出 ，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍）
13．本题是北师大出版社教材例题改编的．考查向量的运算和三角形中的有关公式，平面向量数量积是C级要求．
解：由
，所以△ABC是 为顶角的等腰三角形．
由 ，故 ．
另本题也可用建立恰当的坐标系，用解析法求得．
14．考查对数函数、二次函数与三次函数方程的根，数学思想方法为数形结合，能力是常见函数的导数运用．
解： ，即 有两解，直接解不可能，只有通过画出两个图象的示意图求解．要画图，可通过求出它们的极值，确定单调区间．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．课本习题改编题．主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，基本数学能力是空间想象能力、化归能力和探究能力．要从第一小题中挖掘出 是边 的中点，第二小题要求学生注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．
16．主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，数学基本能力是运算求解和数据处理能力．涉及三角形中三角恒等变换时，从化角或化边的角度入手，合理运用两角和与差的三角公式求解．
另解：对于第二问，在 中，求出 ，在 中，求出 ，进一步求出
的长，在 中，知道三边求出 ．
另：以点 为坐标原点，直线 为 轴，直线 为 轴建立坐标系，设 ，求出 的斜率，得到 ，进一步求出 ．
17．本题主要考查古典概率的计算及统计中的线性回归方程，数学能力是审题、数据处理的能力、阅读的能力．要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．讲评时着重在引导学生认真审题．
18．本题主要考查向量、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生灵活运用圆的标准方程或一般方程求圆的方程，理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，也可求出交点坐标．关注弦长公式： ，抛物线 的焦点弦长为 ．
19．此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数与与单调性、不等式等知识的综合．数学思想方法是分类讨论、数形结合等．数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析问题与解决问题的能力．
评讲时注意着重导数在研究函数问题中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以函数的单调性为背景，着重是利用导数转化为研究二次函数的恒成立问题．第三问是函数存在性问题，通过构造辅助函数，利用导数转化为研究分式函数、对数函数等函数的恒成立问题．利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．
第二问另解：分类讨论： ，当 时，由函数 在[1，＋∞）上是单调递增，所以 在[1，＋∞）上是单调递减，即 在[1，＋∞）上是单调递减，所以 符合条件．
当 时， 在[1，＋∞）上是单调递减，所以所以 符合条件．
当 时， ，要 单调，则 在[1，＋∞）恒成立．
因为函数 的开口向上，对称轴 ，所以要 在[1，＋∞）恒成立，则必须 ，即 ．
综上，得 的取值范围 ．
第三问另解：构造 ，先解 在[1，e]恒成立，求出 的取值范围．
，
当 时， ， ， ，
所以 在 成立，所以 符合．
当 时， ，
因为 ，所以 ， ，所以 在[1，e]上恒成立，
故 在[1，e]上单调递增， ，
由 ，解得 。
所以 在[1，e]恒成立的 的取值范围是 ，
故 的取值范围是 ．
20．主要考查数列的概念、等差数列、等比数列的通项求法就、求解不等式等知识与方法，数学思想方法是分类讨论．数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析问题与解决问题的能力，讲评时着要引导学生认真审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题．
第三问解：由
．
由 ，所以
．以下同解答相同．
三、附加题
21．选做题
A．（几何证明选讲）考查平面几何证明中的圆的有关知识．数学基本能力是识图与运算求解能力．
B．（矩阵与变换）考查常见的几种变换公式．
C．（参数方程与极坐标）考查直线与圆的参数方程及其直线与圆的位置关系．
D．（不等式证明选讲）考查基本不等式的运用．
22．考查二项式定理的运用．讲评时要引导学生灵活赋值．关注2008年江苏高考试卷的第23题．
23．考查梯形的面积和棱台的体积公式的推导及其定积分，数学基本能力是推理论证、运算求解、阅读和类比能力．本题的知识与能力要求均较高．
求助，举手之劳，
【填空题答案】
1．R，; 2．3; 3．1； 4．5； 5．；
6．2； 7．y=2x+3； 8．1.5； 9．； 10． ；
11．充要； 12．－1； 13．； 14．2．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c．向量m =,
n=满足m//n.
（1）求的取值范围；
（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.
【解】(1)因为m//n， 所以， ………………2分
因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得.
于是.
因为. 故三角形ABC为直角三角形. …………5分
, 因为，
所以, 故. ……………7分
(2) . ……………9分
设，则， …………… 11分
，因为 ＜0，故在（1，]上单调递减函数.
所以.所以实数x的取值范围是. …………… 14分
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD‖BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？
请说明理由.
（1）【证明】因为∠ABC=90°，AD‖BC，所以AD⊥AB.
而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,
所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA. ………………3分
同理可得AB⊥PA. ………………5分
由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,
所以PA⊥平面ABCD. ……………7分
（2）【解】（方法一）不平行. ………………9分
证明：假定直线l‖平面ABCD,
由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以‖CD. ………… 11分
同理可得l‖AB, 所以AB‖CD. ……………… 13分
这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,
故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行. ……………… 14分
（方法二）因为梯形ABCD中AD‖BC,
所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T. ………………… 11分
由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.
同理T平面PAB. ………………… 13分
即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.
所以直线与平面ABCD不平行. ………………… 14分
17．（本小题满分15分）
设a为实数，已知函数.
（1）当a=1时，求函数的极值．
（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．
【解】(1)依题有，故. ………2分
由
x 0 2
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
………………………5分
得在时取得极大值，在时取得极小值. …………7分
(2) 因为， ……………………9分
所以方程的两根为a－1和a+1，
显然，函数在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值. ………… 11分
因为方程=0有三个不等实根，
所以 即 解得且.
故a的取值范围是. ………………… 15分
18．（本小题满分15分）
如图，椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，
且.
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.
【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c0)，
则其右准线方程为x＝，且F1(－c, 0), F2(c, 0). ……………2分
设M，
则＝
. ………………………4分
因为，所以，即.
于是，故∠MON为锐角.
所以原点O在圆C外. ………………………7分
（2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c， …………………8分
于是M ，且 …………………9分
MN2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2. ………… 12分
当且仅当 y1＝－y2＝或y2＝－y1＝时取“=”号， ……………… 13分
所以(MN)min= 2c＝2，于是c=1, 从而a＝2，b＝，
故所求的椭圆方程是. ………………… 15分
19．（本小题满分16分）
下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij.
1 4 7 10 13 …
4 8 12 16 20 …
7 12 17 22 27 …
10 16 22 28 34 …
13 20 27 34 41 …
… … … …
（1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；
（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列. 试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；
（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r ，使得成等差数列．若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．
（1）【证明】因为第一行数组成的数列{A1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A1 j＝1+(j－1)×3＝3 j－2，
第二行数组成的数列{A2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，
所以A2 j＝4+(j－1)×4＝4 j． ……………………2分
所以A2 j－A1 j＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，
所以第j列数组成的数列{ Aij}(i＝1,2，…)是以3 j－2为首项，公差为 j＋2的等差数列，
所以Aij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4＝(i＋3) (j＋2) 8． …………5分
故Aij＋8=(i＋3) (j＋2)是合数．
所以当＝8时，对任意正整数i、j，总是合数 …………………6分
（2）【证明】(反证法)假设存在k、m，，使得成等比数列，
即 ………………………7分
∵bn＝Ann ＝(n+2)2－4
∴
得，
即， …………………10分
又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，
∴，这与∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列．……………………12分
（3）【解】假设存在满足条件的，那么
即. …………………… 14分
不妨令 得
所以存在使得成等差数列． …………………… 16分
（注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）
20．（本小题满分16分）
如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
① f(x)＝ ； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.
（1）【答】f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.
【证明】① f(x)＝ 是保三角形函数.
对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因为(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.
同理可以证明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数. ………………4分
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个
三角形的三条边的长. 而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. ………………………8分
(2)【解】M的最小值为2. …………………… 10分
(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a，b，c∈〔M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc. 同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数. …………………… 13分
(ii)其次证明当0M＜2时，h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))不是保三角形函数.
当0M＜2时，取三个数M，M，M2∈〔M，＋∞)，
因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，
所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数.
所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))不是保三角形函数.
综上所述：M的最小值为2. ………………… 16分
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
选修4－1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点，D为的中点，过点D引
割线交⊙O于、两点．求证: ．
【证明】因为与圆相切于，
所以， ………………………2分
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP2=DB·DC，即 ． ………………………5分
因为， 所以∽， ………………………8分
所以． …………………… 10分
选修4－2：矩阵与变换
已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点变成了点，点变成了点，求矩阵M.
【解】设， ………………………2分
则由，， ……………………5分
得 ………………………8分
所以 因此. …………………… 10分
选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，)，半径R=，求圆C的极坐标方程.
解法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC= R=. …………………4分
由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－)=5. ………………8分
化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0，此即为所求的圆C的方程. ………10分
解法二：将圆心C (2，)化成直角坐标为(1，)，半径R=， ………………2分
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2=5. ………………4分
再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2+(ρcosθ－)2=5. ……6分
化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0 ，此即为所求的圆C的方程. …………10分
选修4－5：不等式选讲
已知，求证：.
【证明】因为 ………………3分 ………………………7分
所以. 故. ……… 10分
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示.
纪念币 A B C
概 率 a a
将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(i=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求a的取值范围.
【解】(1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
,
,
,. ……4分
所以的分布列为
的数学期望为
. …………5分
(2) ,
,
.
由和，得,即a的取值范围是. …………… 10分
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知．用数学归纳法证明：.
【证明】（1）当n=2时，左边－右边＝，不等式成立.
………………………2分
（2）假设当n=k（）时，不等式成立，即. ……4分
因为，所以，于是. ……………6分
当n=k+1时，
.
即当n=k+1时，不等式也成立. ………9分
综合（1），（2）知，对于，不等式总成立.
…………………… 10分
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